对 $a$ 进行讨论，显然 $a\ne 0$．
情形一 $a<0$．因为 $ax-1<0$，所以\[\forall x>0,\ln x+ax\leqslant 0,\]而函数\[m(x)=\ln x+ax
\]的最小值在 $ -\dfrac 1a $ 时取到，所以\[m\left(-\dfrac 1a\right)\leqslant 0,\]解得\[a\leqslant -\dfrac 1{\rm e}.\]情形二 $ a>0 $．此时有\[\forall x>0, \left(x-\dfrac 1a\right)\left(\ln x+ax\right)\geqslant 0 ,\]因为函数 $ y=x-\dfrac 1a $ 与函数 $ y=\ln x+ax $ 都在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，而第一个函数有唯一的零点 $ \dfrac 1a $，所以后一个函数也有唯一的零点 $ \dfrac 1a $，即\[\ln\dfrac 1a+a\cdot\dfrac 1a=0,\]解得\[a=\rm e .\]综上所述，实数 $ a $ 的取值范围是 $ \left(-\infty,-\dfrac{1}{\rm e}\right]\cup\left\{{\rm e}\right\}$．