根据题意，有\[\forall x\in [2,n],2^{|x-m|}\leqslant 2x,\]也即\[\forall x\in [2,n],-{\log_2}(2x)+x\leqslant m\leqslant {\log_2}(2x)+x,\]考虑到函数 $g(x)=-{\log_2}(2x)+x$ 的导函数\[g'(x)=-\dfrac{1}{\ln 2}\cdot \dfrac{1}{x}+1,\]是 $(2,+\infty)$ 上的单调递增函数，$h(x)={\log_2}(2x)+x$ 是 $(2,+\infty)$ 上的单调递增函数，于是题意即\[\begin{cases} n>2,\\ g(n)\leqslant m\leqslant h(2),\end{cases}\]也即\[\begin{cases} n>2,\\ -{\log_2}(2n)+n\leqslant m\leqslant 4.\end{cases}\]因此\[-{\log_2}(2n)+2n\leqslant m+n\leqslant n+4,\]其中 $2<n\leqslant 8$，进而 $m+n$ 的取值范围是 $(2,12]$．