根据题意，有\[f(x)=\sqrt{\left(x+\dfrac 12\right)^2+\dfrac{15}4}+x+\dfrac 12-\dfrac 12,\]因此只需要求\[g(x)=\sqrt{x^2+\dfrac{15}4}+x\]的值域．该函数在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，而当 $x\in (-\infty,0)$ 时，有\[g(x)=\dfrac{\dfrac{15}4}{\sqrt{x^2+\dfrac{15}4}-x},\]因此 $g(x)$ 也单调递增，结合 $g(x)$ 的连续性，函数 $g(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，考虑到\[\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\dfrac{15}4}{\sqrt{x^2+\dfrac{15}4}-x}=0,\]于是 $g(x)$ 的值域为 $(0,+\infty)$，函数 $f(x)$ 的值域为 $\left(-\dfrac 12,+\infty\right)$．