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在平面直角坐标系中，给定曲线簇 $(4\sin\theta-2\cos\theta+6)x^2-(8\sin\theta+\cos\theta+1)y=0$，$\theta$ 为参数．该曲线簇在直线 $y=2x$ 上截得的弦长的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    判别式法
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
【答案】
略
【解析】
联立直线与曲线方程，有\[(2\sin\theta-\cos\theta+3)x^2-(8\sin\theta+\cos\theta+1)x=0,\]于是截得弦长为\[\sqrt{1+2^2}\cdot \left|\dfrac{8\sin\theta+\cos\theta+1}{2\sin\theta-\cos\theta+3}\right|,\]令\[t=\dfrac{8\sin\theta+\cos\theta+1}{2\sin\theta-\cos\theta+3},\]则\[(8-2t)\sin\theta+(1+t)\cos\theta=3t-1,\]于是\[(8-2t)^2+(1+t)^2\geqslant (3t-1)^2,\]解得\[-8\leqslant t\leqslant 2.\]因此所求弦长的最大值为 $8\sqrt 5$．
题目 答案 解析 备注
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