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已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 的长度分别为 $1,2,3$，若对任意单位向量 $\overrightarrow e$，都有 $\Big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow c\cdot \overrightarrow e\Big|\leqslant 5$，则 $m=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c+\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    整形
    >
    绝对值的整理
【答案】
$\left[-\dfrac{13}2,\dfrac{11}2\right]$
【解析】
设单位向量 $\overrightarrow e,\overrightarrow f$ 互相垂直，则有\[\begin{split} \left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\right|+\left|\overrightarrow a\cdot f\right|\geqslant \left|\overrightarrow a\right|,\\
\left|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\right|+\left|\overrightarrow b\cdot f\right|\geqslant \left|\overrightarrow b\right|,\\
\left|\overrightarrow c\cdot \overrightarrow e\right|+\left|\overrightarrow c\cdot f\right|\geqslant \left|\overrightarrow c\right|,
\end{split}\]于是\[\Big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow c\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow f\Big|+\Big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow f\Big|+\Big|\overrightarrow c\cdot \overrightarrow f\Big|\geqslant 6,\]因此对任意单位向量 $\overrightarrow e$，有\[1\leqslant \Big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow c\cdot \overrightarrow e\Big|\leqslant 5.\]
题目 答案 解析 备注
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