设函数 $f(x)=\dfrac 12x^2+\left(k^3-ak^2+\dfrac 1k\right)x+7a$（$a,k\in\mathbb R$），存在 $k\in [2,3]$，使得对任意 $x_1\in\left[k,k+\dfrac a2\right]$，$x_2\in[k+2a,k+3a]$，都有 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$，则正实数 $a$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{91}{24}$
【解析】
函数 $f(x)$ 的对称轴为\[x=-k^3+ak^2-\dfrac 1k,\]根据题意，有\[\exists k\in [2,3],(k+2a)-\left(-k^3+ak^2-\dfrac 1k\right)\geqslant \left(-k^3+ak^2-\dfrac 1k\right)-k,\]也即\[\exists k\in [2,3],a\leqslant \dfrac{k^4+k^2+1}{k(k^2-1)},\]由于\[\dfrac{k^4+k^2+1}{k(k^2-1)}=\dfrac{(k^2-1)^2+3k^2}{k(k^2-1)}=\left(k-\dfrac 1k\right)+\dfrac{3}{k-\dfrac 1k},\]因此右侧关于 $k$ 的函数 $\varphi(k)$ 在 $[2,3]$ 上的最大值为\[\max\{\varphi(2),\varphi(3)\}=\max\left\{\dfrac 72,\dfrac{91}{24}\right\}=\dfrac{91}{24},\]因此正实数 $a$ 的最大值为 $\dfrac{91}{24}$．
题目
答案
解析
备注
