已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 的长度分别为 $1,2,3$，若对任意单位向量 $\overrightarrow e$，都有 $\Big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow c\cdot \overrightarrow e\Big|\leqslant 5$，则 $m=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c+\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac{13}2,\dfrac{11}2\right]$
【解析】
由\[\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)^2=\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2+\left|\overrightarrow c\right|^2+2m,\]可得\[m=\dfrac{\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|^2}2-7,\]因此只需要求出 $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|$ 的取值范围．
最大值 取与 $\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$ 同向的单位向量 $\overrightarrow e$，则有\[\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|=\left|\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)\cdot \overrightarrow e\right|\leqslant \Big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow c\cdot \overrightarrow e\Big|\leqslant 5.\]最小值 根据题意，若 $\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c\right)$ 是符合要求的一组向量，那么 $\left(-\overrightarrow a,-\overrightarrow b,\overrightarrow c\right)$ 也是符合要求的一组向量．根据绝对值不等式有\[\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|+\left|-\overrightarrow a-\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|\geqslant \left|2\overrightarrow c\right|= 6,\]而\[\left|-\overrightarrow a-\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|\leqslant 5,\]于是\[\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|\geqslant 1.\]综上所述，$m$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{13}2,\dfrac{11}2\right]$．
题目
答案
解析
备注
