已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，$A$ 为定角且 $A$ 为锐角，若 $\overrightarrow{AO}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$，则 $\alpha + \beta$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{1+\cos A}$
【解析】
记 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，考虑到问题所求与三角形的大小无关，不妨设 $OA = 1$．此时 $\triangle ABC$ 的外接圆固定，即 $B,C,O$ 为定点，$A$ 在优弧 $BC$ 上运动．延长 $AO$ 交 $BC$ 于 $D$．
根据题意，有\[\overrightarrow{AO}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{AD}.\]当 $\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{AO}$ 同向时，有 $AD$ 的取值范围是 $[1+\cos A,+\infty)$；当 $\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{AO}$ 反向时，$AD$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$．因此 $\alpha+\beta$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac{1}{1+\cos A}\right]$．
根据题意，有\[\overrightarrow{AO}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{AD}.\]当 $\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{AO}$ 同向时，有 $AD$ 的取值范围是 $[1+\cos A,+\infty)$；当 $\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{AO}$ 反向时，$AD$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$．因此 $\alpha+\beta$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac{1}{1+\cos A}\right]$．
题目
答案
解析
备注
