题意即\[\forall x>0,a\leqslant \dfrac{{\rm e}^x-x^2+1}{x},\]令右侧函数为 $\varphi(x)$，注意到\[\begin{array}{c|ccc}\hline
x&1&2&3\\ \hline
\varphi(x)&{\rm e}&\dfrac{{\rm e}^2-3}{2}&\dfrac{{\rm e}^3-8}{3}\\ \hline
&2.\cdots &2.\cdots&4.\cdots\\ \hline
\end{array}\]于是猜想整数 $a$ 的最大值为 $2$．尝试证明\[\forall x>0,{\rm e}^x-x^2-2x+1\geqslant 0,\]也即\[\forall x>0,(x^2+2x-1){\rm e}^{-x}\leqslant 1,\]设左侧函数为 $f(x)$，则其导函数\[f'(x)=(3-x^2){\rm e}^{-x},\]因此 $f(x)$ 的极小值，亦为最小值为\[f\left(\sqrt 3\right)=\left(2+2\sqrt 3\right){\rm e}^{-\sqrt 3}.\]由于\[\begin{split} {\rm e}^{\sqrt 3}&>1+\sqrt 3+\dfrac 12\cdot \left(\sqrt 3\right)^2+\dfrac 16\left(\sqrt 3\right)^3+\dfrac {1}{24}\left(\sqrt 3\right)^4\\
&=\dfrac{23+12\sqrt 3}8\\
&>\dfrac{16+16\sqrt 3}8,\end{split}\]因此猜想得证．
综上所述，整数 $a$ 的最大值为 $2$．