设函数 $f(x)=\left|\sqrt x-ax-b\right|,a,b\in\mathbb R$，若对任意实数 $a,b$，总存在 $x_0\in[0,4]$ 使得不等式 $f(x_0)\geqslant m$，求实数 $m$ 的取值范围 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,\dfrac14\right]$
【解析】
考虑到 $y=\sqrt x$ 上两点 $A(0,0)$，$B(4,2)$，与割线 $AB$ 平行的切线为 $y=\dfrac 12(x-1)+1$，因此利用函数 $f(x)$ 在 $0,1,4$ 处的函数值进行放缩．记 $f(x)$ 的最大值为 $M$，则有$$\begin{cases}
M\geqslant f(0)=\left|b\right|,\\
M\geqslant f(1)=\left|a+b-1\right|,\\
M\geqslant f(4)=\left|4a+b-2\right|,\end{cases}$$于是$$8M\geqslant 3\left|b\right|+4\left|a+b-1\right|+\left|4a+b-2\right|\geqslant 2 .$$因此当且仅当 $(a,b)=\left(\dfrac12,\dfrac14\right)$ 时 $M$ 取得最小值 $\dfrac 14$，故 $m$ 的取值范围为 $\left(-\infty,\dfrac14\right].$
M\geqslant f(0)=\left|b\right|,\\
M\geqslant f(1)=\left|a+b-1\right|,\\
M\geqslant f(4)=\left|4a+b-2\right|,\end{cases}$$于是$$8M\geqslant 3\left|b\right|+4\left|a+b-1\right|+\left|4a+b-2\right|\geqslant 2 .$$因此当且仅当 $(a,b)=\left(\dfrac12,\dfrac14\right)$ 时 $M$ 取得最小值 $\dfrac 14$，故 $m$ 的取值范围为 $\left(-\infty,\dfrac14\right].$
题目
答案
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