若 $a^b=b^a=t$，$x^{{\log_a}x+b}=a^{b+1}$（$x\ne a$，$a>0$ 且 $a\ne 1$，$b>0$，$t>1$），则 $x=$ （结果用 $a,b$ 表示），$a^a\cdot b^b$ 的最小值为 （结果用 $t$ 表示）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a^{-(b+1)}$；$t^2$
【解析】
根据题意，有\[{\log_a}x+b=(b+1){\log_x}a,\]也即\[\left({\log_a}x-1\right)\left({\log_a}x+b+1\right)=0,\]因此\[x=a^{-(b+1)}.\]而\[a^{ab}=t^a,b^{ab}=t^b,\]于是\[a^a\cdot b^b=t^{\frac ab}\cdot t^{\frac ba}=t^{\frac ab+\frac ba}\geqslant t^2,\]等号当 $a=b$ 时取得．
题目
答案
解析
备注
