设函数\[g(x)=\ln\tan x+\cos 2x,\]注意到其零点为 $\dfrac{\pi}4+k\pi$（$k\in\mathbb Z$），且在每个区间 $\left(k\pi,k\pi+\dfrac{\pi}2\right)$ 上函数 $g(x)$ 均单调递增，因此只需要考虑区间 $\left(-\pi,-\dfrac{3\pi}4\right)$，$\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$，$\left(\dfrac{5\pi}4,\dfrac{3\pi}2\right)$．函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\tan x+\dfrac{1}{\tan x}-2-2\sin 2x,\]二阶导函数\[\begin{split} f''(x)&=\dfrac{1}{\cos^2x}-\dfrac{1}{\sin^2x}-4\cos 2x\\
&=\dfrac{-\cos 2x(1+\sin^22x)}{\sin^2x\cos^2x},\end{split}\]因此函数 $f(x)$ 的二阶导函数在每个区间上均恒正，结合\[f
'\left(-\dfrac{3\pi}4\right)=f'\left(\dfrac{\pi}4\right)=f'\left(\dfrac{5\pi}4\right)=-2,\]，可得函数 $f(x)$ 在区间 $\left(-\pi,-\dfrac{3\pi}4\right)$ 先单调递增再单调递减，在 $\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 和 $\left(\dfrac{5\pi}4,\dfrac{3\pi}2\right)$ 上先单调递减再单调递增．又\[\begin{array} {c|cccccc}\hline
x&-\pi&-\dfrac{3\pi}4&\dfrac{\pi}4&\dfrac{\pi}2&\dfrac{5\pi}4&\dfrac{3\pi}2\\ \hline
f(x)&-\infty&+\dfrac{3\pi}2&-\dfrac{\pi}2&+\infty&-\dfrac{5\pi}2&+\infty\\ \hline
\end{array}\]因此函数 $f(x)$ 在每个区间上都有唯一零点．
综上所述，所求零点个数为 $3$．