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设 $\{a_n\}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列，从数列 $\{a_n\}$ 的前 $2m$ 项中随机取 $3$ 个不同的数，这三个数的某种排列可以构成等差数列的概率是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    计数与概率
    >
    概率计算题
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等差数列及其性质
    >
    等差数列的定义与通项
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    排列数与组合数
【答案】
$\dfrac{3(m-1)}{(2m-1)(2m-3)}$
【解析】
根据题意，基本事件有 ${\rm C}_{2m}^3$ 个．对于数列 $\{a_n\}$ 中的项 $a_i,a_j$（$a_i<a_j$），当且仅当 $i$ 与 $j$ 的奇偶相同时，对应的 $\dfrac{a_i+a_j}2$ 在数列 $\{a_n\}$ 中，此时\[a_i,a_{\frac 12(i+j)},a_j\]构成等差数列．因此从数列 $\{a_n\}$ 的前 $2m$ 项中选出 $3$ 个不同的数，可以构成不同的等差数列有为 $2{\rm A}_ m^2$ 个，对应的基本事件有 ${\rm A}_ m^2$ 个．因此所求概率为\[\dfrac{{\rm A}_ m^2}{{\rm C}_ {2m}^3}=\dfrac{3(m-1)}{(2m-1)(2m-3)}.\]
题目 答案 解析 备注
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