在圆周上随机选取三点 $A,B,C$，记 $\triangle ABC$ 的三内角分别为 $\alpha,\beta,\pi-\alpha-\beta$，事件 $P$ 表示“$\triangle ABC$ 是锐角三角形”，则实验的所有结果组成的区域$$ \Omega=\{(\alpha,\beta)\mid 0<\alpha,\beta<\pi,0<\alpha+\beta<\pi\},$$所以 $\Omega$ 的面积为$$S=\dfrac 12\pi^2.$$事件 $P$ 构成的集合为$$\left\{(\alpha,\beta)\mid 0<\alpha,\beta<\dfrac {\pi}{2},0<\alpha+\beta<\dfrac {\pi}{2}\right\},$$所以 $A$ 的面积为$$S_1=\dfrac 12\cdot \left(\dfrac {\pi}{2}\right)^2=\dfrac 18\pi^2.$$因此所求概率为$$p=\dfrac {S_1}{S}=\dfrac 14.$$