易知 $a>0$ 且 $a\ne 1$，不等式解集中的两个元素是一对非零相反数．记\[u=x^2-a|x|+5,\]则原不等式化为$$\dfrac{\log_3(\sqrt u+1)}{-\log_3a}\cdot \log_5(u+1)+\log_a 3 \geqslant 0.$$情形一 $0<a<1$．此时 $u>0$，原不等式化为$$\log_3(\sqrt u +1)\cdot \log_5(u+1)\geqslant 1.$$函数\[f(u)=\log_3(\sqrt u +1)\cdot \log_5(u+1)\]是增函数，且 $f(4)=1$．故不等式的解为 $u\geqslant 4$，即$$x^2-a|x|+5 \geqslant 4.$$此不等式的解集中有无穷多个元素．
情形二 $a>1$．此时原不等式化为$$\log_3(\sqrt u +1)\cdot \log_5(u+1)\leqslant 1,$$因而不等式的解集为\[0\leqslant u\leqslant 4,\]因此\[x^2-a|x|+5\leqslant 4,\]的解集中的元素是一对非零相反数，从而方程 $x^2-ax+5=4$ 有相等的两个正根，解得 $a=2$．
综上所述，实数 $a$ 的值是 $2$．