设 $a>b>0$，则 $\sqrt 2a^3+\dfrac{3}{ab-b^2}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}\sqrt 2a^3+\dfrac{3}{ab-b^2}&\geqslant \sqrt 2a^3+\dfrac{12}{a^2}\\
&=\dfrac{a^3}{\sqrt 2}+\dfrac{a^3}{\sqrt 2}+\dfrac 4{a^2}+\dfrac 4{a^2}+\dfrac 4{a^2}\\
&\geqslant 5\sqrt[5]{\left(\dfrac{a^3}{\sqrt 2}\right)^2\cdot \left(\dfrac 4{a^2}\right)^3}\\
&=10,\end{split}\]等号当 $b=\dfrac 12a$，$a=\sqrt 2$ 时取得．因此所求的最小值为 $10$．
&=\dfrac{a^3}{\sqrt 2}+\dfrac{a^3}{\sqrt 2}+\dfrac 4{a^2}+\dfrac 4{a^2}+\dfrac 4{a^2}\\
&\geqslant 5\sqrt[5]{\left(\dfrac{a^3}{\sqrt 2}\right)^2\cdot \left(\dfrac 4{a^2}\right)^3}\\
&=10,\end{split}\]等号当 $b=\dfrac 12a$，$a=\sqrt 2$ 时取得．因此所求的最小值为 $10$．
题目
答案
解析
备注
