设 $x>1$，则函数 $y=\dfrac{(x-1)^5}{(5x-3)^9}$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{16}{9^9}$
【解析】
令 $x-1=t$，根据题意，有\[\begin{split} \dfrac{(x-1)^5}{(5x-3)^9}&=\dfrac{1}{\lambda^4}\cdot \left(\dfrac{t}{5t+2}\right)^5\cdot \left(\dfrac{\lambda}{5t+2}\right)^4\\
&\leqslant \dfrac{1}{\lambda^4}\cdot \left[\dfrac 19\left(\dfrac{5t}{5t+2}+\dfrac{4\lambda}{5t+2}\right)\right]^9,\end{split}\]取 $\lambda=\dfrac 12$，可得 $y$ 的最大值为 $\dfrac{16}{9^9}$．
&\leqslant \dfrac{1}{\lambda^4}\cdot \left[\dfrac 19\left(\dfrac{5t}{5t+2}+\dfrac{4\lambda}{5t+2}\right)\right]^9,\end{split}\]取 $\lambda=\dfrac 12$，可得 $y$ 的最大值为 $\dfrac{16}{9^9}$．
题目
答案
解析
备注
