已知 $a,b,c>0$，$a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\geqslant 1$，则 $a+b+c$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 3$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} (a+b+c)^2&=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\\
&\geqslant 3(ab+bc+ca)\\
&=3\left(a\cdot \dfrac{b+c}2+b\cdot \dfrac{c+a}2+c\cdot \dfrac{a+b}2\right)\\
&\geqslant 3\left(a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\right)\\
&\geqslant 3,\end{split}\]等号当 $a=b=c$ 时取得，因此所求的最小值为 $\sqrt 3$．
&\geqslant 3(ab+bc+ca)\\
&=3\left(a\cdot \dfrac{b+c}2+b\cdot \dfrac{c+a}2+c\cdot \dfrac{a+b}2\right)\\
&\geqslant 3\left(a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}\right)\\
&\geqslant 3,\end{split}\]等号当 $a=b=c$ 时取得，因此所求的最小值为 $\sqrt 3$．
题目
答案
解析
备注
