已知 $a,b,c\geqslant 0$，则 $m=\sqrt{\dfrac a{b+c}}+\sqrt{\dfrac b{c+a}}+\sqrt{\dfrac c{a+b}}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$．
情形一 $c=0$．此时\[m=\sqrt{\dfrac ab}+\sqrt{\dfrac ba}\geqslant 2,\]等号当 $a=b$ 且 $b>0$ 时取得，因此 $m$ 的最小值为 $2$．
情形二 $c>0$．此时\[\begin{split} m&=\dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}}+\dfrac{b}{\sqrt{b(c+a)}}+\dfrac c{\sqrt{c(a+b)}}\\
&\geqslant \dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{b+c+a}+\dfrac{2c}{c+a+b}\\
&=2,\end{split}\]且等号无法取得．
综上所述，$m$ 的最小值为 $2$．
&\geqslant \dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{b+c+a}+\dfrac{2c}{c+a+b}\\
&=2,\end{split}\]且等号无法取得．
综上所述，$m$ 的最小值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
