设 $ S $ 为复数集 $ {\mathbb{C}} $ 的非空子集．若对任意 $x,y \in S$，都有 $x + y,x - y,xy \in S$，则称 $ S $ 为封闭集．下列命题：
① 集合 $ S=\left\{a+b{\mathrm{i}}\mid a,b \in \mathbb Z\right\} $（其中 ${\mathrm{ i }}$ 为虚数单位）为封闭集；
② 若 $ S $ 为封闭集，则一定有 $0 \in S$；
③ 封闭集一定是无限集；
④ 若 $ S $ 为封闭集，则满足 $S \subseteq T \subseteq {\mathbb{C}}$ 的任意集合 $T$ 也是封闭集．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
① 集合 $ S=\left\{a+b{\mathrm{i}}\mid a,b \in \mathbb Z\right\} $（其中 ${\mathrm{ i }}$ 为虚数单位）为封闭集；
② 若 $ S $ 为封闭集，则一定有 $0 \in S$；
③ 封闭集一定是无限集；
④ 若 $ S $ 为封闭集，则满足 $S \subseteq T \subseteq {\mathbb{C}}$ 的任意集合 $T$ 也是封闭集．
其中真命题是
【难度】
【出处】
2010年高考四川卷（文）
【标注】
【答案】
①②
【解析】
对于 ①，由于整数对加、减、乘法具有封闭性，于是 ① 正确；
对于 ②，由于 $x,y$ 可以相等，于是封闭集中一定包括元素 $0$；
对于 ③，继续对 ② 的思考，单独的 $0$ 也可以构成封闭集，因此 ③ 不正确；
对于 ④，继续对 ③ 的思考，$\{0\}\subseteq \{0,1\} \subseteq \mathbb C$，但 $\{0,1\}$ 不是封闭集，因此 ④ 不正确．
对于 ②，由于 $x,y$ 可以相等，于是封闭集中一定包括元素 $0$；
对于 ③，继续对 ② 的思考，单独的 $0$ 也可以构成封闭集，因此 ③ 不正确；
对于 ④，继续对 ③ 的思考，$\{0\}\subseteq \{0,1\} \subseteq \mathbb C$，但 $\{0,1\}$ 不是封闭集，因此 ④ 不正确．
题目
答案
解析
备注
