若五项的数列 $\{a_n\}:a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 满足 $0\leqslant a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$，且对任意的 $i,j$（$1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5$）均有 $a_j-a_i$ 在该数列中．以下四个命题正确的有 ．
① $a_1=0$；
② $a_5=4a_2$；
③ $\{a_n\}$ 为等差数列；
④ 集合 $A=\left\{a_i+a_j\mid 1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5\right\}$ 含 $9$ 个元素．
① $a_1=0$；
② $a_5=4a_2$；
③ $\{a_n\}$ 为等差数列；
④ 集合 $A=\left\{a_i+a_j\mid 1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5\right\}$ 含 $9$ 个元素．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①②③④
【解析】
根据已知有$$0\leqslant a_5-a_5<a_5-a_4<a_5-a_3<a_5-a_2<a_5-a_1,$$而这五个数也在数列中，于是可得$$a_1=0,a_2+a_4=2a_3=a_5,$$进而$$a_3-a_2=a_2,$$于是数列 $\{a_n\}$ 中的数分别为$$0,a_2,2a_2,3a_2,4a_2.$$不难据此推得命题 ①②③④ 均正确．
题目
答案
解析
备注
