已知 $ax + y = 2a + 3$（$a$ 为正常数，$x \geqslant 0 ,y \geqslant 0$），若 ${x^2} + {y^2}$ 的最大值为 $S$，且 $S \in \left[ {49,121} \right]$，则 $a$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
2011年南京理工大学自主招生暨保送生考试数学试题
【标注】
【答案】
$\left[ {\dfrac{1}{3}, \dfrac{3}{5}} \right] \cup \left[ {2,4} \right]$
【解析】
直线 $y =- a\left( {x - 2} \right) + 3$ 在第一象限以及 $x ,y$ 正半轴的部分上的点 $\left( {x, y} \right)$ 到原点的距离最大值在 $\left[ {7 ,11} \right]$ 之间，所以$$7 \leqslant \max \left( {2 + \dfrac{3}{a}, 2a + 3} \right) \leqslant 11. $$由于 $\max \left( {2 + \dfrac{3}{a}, 2a + 3} \right) \leqslant 11$ 即为$$\begin{cases}
2a + 3 \leqslant 11,\\
2 + \dfrac{3}{a} \leqslant 11 .
\end{cases}$$所以 $ \dfrac{1}{3} \leqslant a \leqslant 4$．又 $\max \left( {2 + \dfrac{3}{a},2a + 3} \right) \geqslant 7$ 即为$$2 + \dfrac{3}{a} \geqslant 7\lor 2a + 3 \geqslant 7.$$所以 $ a \leqslant \dfrac{3}{5}$ 或 $a \geqslant 2$．
综上，$a \in \left[ {\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{5}} \right] \cup \left[ {2 , 4} \right]$．
2a + 3 \leqslant 11,\\
2 + \dfrac{3}{a} \leqslant 11 .
\end{cases}$$所以 $ \dfrac{1}{3} \leqslant a \leqslant 4$．又 $\max \left( {2 + \dfrac{3}{a},2a + 3} \right) \geqslant 7$ 即为$$2 + \dfrac{3}{a} \geqslant 7\lor 2a + 3 \geqslant 7.$$所以 $ a \leqslant \dfrac{3}{5}$ 或 $a \geqslant 2$．
综上，$a \in \left[ {\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{5}} \right] \cup \left[ {2 , 4} \right]$．
题目
答案
解析
备注
