题目 已知实数 $u,v,x,y$ 满足 $u^2+v^2=1$，$\begin{cases} x+y-1\geqslant 0,\\ x-2y+2\geqslant 0,\\ x\leqslant 2,\end{cases}$ 则 $ux+vy$ 的最大值是<nn> </nn>． 答案 $2\sqrt 2$ 解析 如图，点 $(x,y)$ 所在的区域都在以原点为圆心，过点 $(2,2)$ 的圆内，于是\[ux+vy\leqslant \sqrt{u^2+v^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2}\leqslant 1\cdot 2\sqrt 2=2\sqrt 2,\]等号当 $(x,y)=(2,2)$ 且 $(u,v)=\left(\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 时取得．因此所求的最大值为 $2\sqrt 2$．<img src="http://bison.img.eduzhixin.com/math-img/d4359efee0bf387fffed0dee21d747af.png" class="img-responsive" /> 备注 每日一题[903]规划规划．