若关于 $x$ 的不等式 $\left(k^2-1\right)x^2+2(k+1)|x|+1>0$ 对于任意 $x\in \mathbb R$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$
【解析】
按分界点 $k=-1,1$ 讨论，显然 $k=\pm 1$ 时符合题意，且 $k\in (-1,1)$ 时不符合题意．
情形一 $k<-1$．此时不等式即\[(k^2-1)\left(|x|+\dfrac{1}{k-1}\right)^2+\dfrac{2}{1-k}>0,\]符合题意．
情形二 $k>1$．此时不等式显然恒成立，符合题意．
综上所述，实数 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$．
综上所述，实数 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
