定义一个数列 $\{a_n\}$ 如下：
① $a_1=a$；
② 若 $a_k\ne 2$，定义 $a_{k+1}=\dfrac{1}{2-a_k}$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）；若 $a_k=2$，则数列终止．
若这样定义的数列中项的取值集合为有限集合，则 $a$ 的取值集合为 ．
① $a_1=a$；
② 若 $a_k\ne 2$，定义 $a_{k+1}=\dfrac{1}{2-a_k}$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）；若 $a_k=2$，则数列终止．
若这样定义的数列中项的取值集合为有限集合，则 $a$ 的取值集合为
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\{1\}\cup\left\{1+\dfrac 1k\mid k\in\mathbb N^{\ast}\right\}$
【解析】
根据题意，当 $a_k\ne 1$ 时，有\[\dfrac{1}{a_{k+1}-1}=\dfrac{1}{a_k-1}-1.\]情形一 数列 $\{a_n\}$ 是有限数列．此时数列的最后一项为 $2$，进而可得 $a$ 的可能取值为\[1+\dfrac 1n,n\in\mathbb N^{\ast}.\]情形二 数列 $\{a_n\}$ 从某项起为周期数列．当 $a=1$ 时，数列 $\{a_n\}$ 是恒为 $1$ 的常数列；当 $a\ne 1$ 时，$a_n\ne 1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），于是数列 $\left\{\dfrac{1}{a_n-1}\right\}$ 从某项起为周期数列，这与该数列为单调数列矛盾．
综上所述，$a$ 的取值集合为 $\{1\}\cup\left\{1+\dfrac 1k\mid k\in\mathbb N^{\ast}\right\}$．
综上所述，$a$ 的取值集合为 $\{1\}\cup\left\{1+\dfrac 1k\mid k\in\mathbb N^{\ast}\right\}$．
题目
答案
解析
备注
