已知函数 $f(x)=\dfrac{x^2}{1+x^2}$，若 $m=f(1)+f(2)+\cdots +f(101)$，$n=f\left(\dfrac 12\right)+f\left(\dfrac 13\right)+\cdots +f\left(\dfrac 1{100}\right)+f\left(\dfrac 1{101}\right)$，则 $m+n=$ ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac {201}{2}$
【解析】
已知函数 $f(x)=\dfrac{x^2}{1+x^2}$，当 $x\ne 0$ 时，\[\begin{split}f(x)+f\left(\dfrac 1x\right)&=\dfrac{x^2}{1+x^2}+\dfrac{\dfrac 1{x^2}}{1+\dfrac 1{x^2}}\\&=\dfrac{x^2}{1+x^2}+\dfrac 1{1+x^2}\\&=1.\end{split}\]又 $f(1)=\dfrac{1^2}{1+1^2}=\dfrac 12$，所以\[\begin{split}m+n&=\sum\limits_{k=1}^{101}f(k)+\sum\limits_{k=1}^{101}f\left(\dfrac 1k\right)-f(1)\\&=\sum\limits_{k=1}^{101}\left(f(k)+f\left(\dfrac 1k\right)\right)-f(1)\\&=\sum\limits_{k=1}^{101}\cdot 1+(-f(1))\\&=101-\dfrac 12\\&=\dfrac{201}{2}.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
