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一条光线从点 $\left(-2,-3\right)$ 射出，经 $y$ 轴反射后与圆 $\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=1$ 相切，则反射光线所在直线的斜率为 \((\qquad)\)
A: $-\dfrac 53$ 或 $-\dfrac 35$
B: $-\dfrac 32$ 或 $-\dfrac 23$
C: $-\dfrac 54$ 或 $-\dfrac 45$
D: $-\dfrac 43$ 或 $-\dfrac 34$
【难度】
【出处】
2015年高考山东卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆
    >
    直线与圆的位置关系
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线
    >
    直线与直线的位置关系
    >
    点到直线的距离公式
  • 题型
    >
    解析几何
【答案】
D
【解析】
此题考查了直线中的对称问题以及直线与圆的相切问题．利用点 $M$ 关于反射面的对称点 $P$ 必在反射光线所在的直线上，将问题转化为过点 $P$ 的直线与圆相切的问题．设 $M\left(-2,-3\right)$，由反射光线与入射光线的对称性可知，反射光线一定经过点 $P\left(2,-3\right)$，故将问题转化为求过点 $P\left(2,-3\right)$ 且与圆相切的直线的斜率的问题．设反射光线的斜率为 $k$，则反射光线所在的直线方程为 $y+3=k\left(x-2\right)$，反射光线与圆相切，所以圆心到反射光线所在的直线的距离 $d=\dfrac{\left|-3k-2-2k-3\right|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，解得 $k=-\dfrac{4}{3}$ 或 $k=-\dfrac{3}{4}$．
题目 答案 解析 备注
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