函数 $y = \sin \left( {\dfrac{\mathrm \pi }{2} + x} \right)\cos \left( {\dfrac{\mathrm \pi }{6} - x} \right)$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2011年高考上海卷（理）
【标注】
【答案】
$\dfrac{2 + \sqrt 3 }{4}$
【解析】
因为\[\begin{split}
y &= \sin \left( {\dfrac{\mathrm \pi }{2} + x} \right)\cos \left( {\dfrac{\mathrm \pi }{6} - x} \right) \\
&= \cos x\left(\dfrac{\sqrt 3 }{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x\right) \\
& = \dfrac{\sqrt 3 }{2}{\cos ^2}x + \dfrac{1}{2}\sin x\cos x \\
&= \dfrac{1}{2}\sin \left(2x + \dfrac{\mathrm \pi }{3}\right) + \dfrac{\sqrt 3 }{4} .
\end{split} \]所以当 $2x + \dfrac{\mathrm \pi }{3} = 2k\mathrm \pi + \dfrac{\mathrm \pi }{2}$，$k \in {\mathbb{Z}}$ 时，$ y$ 取最大值为 $\dfrac{2 + \sqrt 3 }{4}$．
y &= \sin \left( {\dfrac{\mathrm \pi }{2} + x} \right)\cos \left( {\dfrac{\mathrm \pi }{6} - x} \right) \\
&= \cos x\left(\dfrac{\sqrt 3 }{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x\right) \\
& = \dfrac{\sqrt 3 }{2}{\cos ^2}x + \dfrac{1}{2}\sin x\cos x \\
&= \dfrac{1}{2}\sin \left(2x + \dfrac{\mathrm \pi }{3}\right) + \dfrac{\sqrt 3 }{4} .
\end{split} \]所以当 $2x + \dfrac{\mathrm \pi }{3} = 2k\mathrm \pi + \dfrac{\mathrm \pi }{2}$，$k \in {\mathbb{Z}}$ 时，$ y$ 取最大值为 $\dfrac{2 + \sqrt 3 }{4}$．
题目
答案
解析
备注
