如图，线段 $AB=8$，点 $C$ 在线段 $AB$ 上，且 $AC=2$，$P$ 为线段 $CB$ 上一动点，点 $A$ 绕点 $C$ 旋转后与点 $B$ 绕点 $P$ 旋转后重合于点 $D$．设 $CP = x$，$\triangle {CPD}$ 的面积为 $f\left(x\right)$．则 $f\left(x\right)$ 的定义域为 ；$f'\left(x\right)$ 的零点是 ；$f\left(x\right)$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(2,4)$；$x=3$；$2\sqrt 2$
【解析】
这是一个动态几何问题，相当于把一条线段折成一个三角形．
这个三角形的三边分别为$$AC=2,CP=x,PB=6-x.$$考虑 $f(x)$ 的定义域：为了形成三角形，必须有$$|x-(6-x)|<2<x+(6-x),$$解得 $2<x<4$．
我们发现在折成的三角形 $PCD$ 中，$PC+PD$ 为定值 $6$，因此点 $P$ 在以 $C$，$D$ 为焦点，长轴长为 $6$ 的椭圆上（只在其中一部分）运动．
如图，不改变问题的本质，我们把折的方式改变为固定线段 $AC$ 不动，将 $CP$，$PB$ 折过来使得 $B$ 与 $A$ 重合．（可以想象放置在 $AB$ 的一根绳子，用钉子在 $A$ 和 $C$ 点处将绳子钉住，然后将绳子的 $B$ 端绑在 $A$ 处的钉子上，用铅笔将绳子在平面内绷直，笔尖在 $AB$ 的上方画出的图形就是 $P$ 点的轨迹．）
在这个模型中，$f'(x)$ 的零点就是 $f(x)$ 的极值点（同时也是最大值点），其对应 $P$ 点位置满足 $PA=PC=3$，此时三角形 $PAC$ 的面积为 $2\sqrt 2$，也即 $f(x)$ 的最大值为 $2\sqrt 2$．
这个三角形的三边分别为$$AC=2,CP=x,PB=6-x.$$考虑 $f(x)$ 的定义域：为了形成三角形，必须有$$|x-(6-x)|<2<x+(6-x),$$解得 $2<x<4$．
我们发现在折成的三角形 $PCD$ 中，$PC+PD$ 为定值 $6$，因此点 $P$ 在以 $C$，$D$ 为焦点，长轴长为 $6$ 的椭圆上（只在其中一部分）运动．
如图，不改变问题的本质，我们把折的方式改变为固定线段 $AC$ 不动，将 $CP$，$PB$ 折过来使得 $B$ 与 $A$ 重合．（可以想象放置在 $AB$ 的一根绳子，用钉子在 $A$ 和 $C$ 点处将绳子钉住，然后将绳子的 $B$ 端绑在 $A$ 处的钉子上，用铅笔将绳子在平面内绷直，笔尖在 $AB$ 的上方画出的图形就是 $P$ 点的轨迹．）
在这个模型中，$f'(x)$ 的零点就是 $f(x)$ 的极值点（同时也是最大值点），其对应 $P$ 点位置满足 $PA=PC=3$，此时三角形 $PAC$ 的面积为 $2\sqrt 2$，也即 $f(x)$ 的最大值为 $2\sqrt 2$．
题目
答案
解析
备注
