如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一单位圆的圆心的初始位置在 $\left( {0,1} \right)$，此时圆上一点 $P$ 的位置在 $\left( {0,0} \right)$，圆在 $x$ 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于 $\left( {2,1} \right)$ 时，$\overrightarrow {OP} $ 的坐标为 ．
【难度】
【出处】
2012年高考山东卷（文）
【标注】
【答案】
$(2-\sin 2,1-\cos 2)$
【解析】
这是一个动态几何问题．直接解决问题比较困难，我们将“圆在 $x$ 轴上沿正向滚动”这一过程进行分解．
如图，这个“滚动”过程可以分解为图1所示的“滑动”和图2所示的“转动”．
接下来我们分别研究“滑动”和“转动”，然后将它们如图3复合，即$$\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {OQ}+\overrightarrow {QP},\cdots\cdots \text{ ① }$$“滑动”过程比较简单，$Q(2,0)$，$$\overrightarrow {OQ}=(2,0),\cdots\cdots \text{ ② }$$要研究“转动”，就必须清楚“转动”是怎样产生的．
在滑动过程中，接触点经过的长度（线段 $OQ$）将由滑动过程提供（弧 $QP$），因此弧 $QP$ 的长度等于线段 $OQ$ 的长度，于是弧 $QP$ 所对圆心角为$$\dfrac {|OQ|}{r}=2,$$其中 $r$ 为圆的半径．
如图4，$$\overrightarrow {QP}=\overrightarrow {MP}-\overrightarrow {MQ}=(-\sin 2,1-\cos 2).\cdots\cdots \text{ ③ }$$因此，将 ②③ 代入 ① 中，得 $\overrightarrow {OP}=(2-\sin 2,1-\cos 2)$．
如图，这个“滚动”过程可以分解为图1所示的“滑动”和图2所示的“转动”．
接下来我们分别研究“滑动”和“转动”，然后将它们如图3复合，即$$\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {OQ}+\overrightarrow {QP},\cdots\cdots \text{ ① }$$“滑动”过程比较简单，$Q(2,0)$，$$\overrightarrow {OQ}=(2,0),\cdots\cdots \text{ ② }$$要研究“转动”，就必须清楚“转动”是怎样产生的．在滑动过程中，接触点经过的长度（线段 $OQ$）将由滑动过程提供（弧 $QP$），因此弧 $QP$ 的长度等于线段 $OQ$ 的长度，于是弧 $QP$ 所对圆心角为$$\dfrac {|OQ|}{r}=2,$$其中 $r$ 为圆的半径．
如图4，$$\overrightarrow {QP}=\overrightarrow {MP}-\overrightarrow {MQ}=(-\sin 2,1-\cos 2).\cdots\cdots \text{ ③ }$$因此，将 ②③ 代入 ① 中，得 $\overrightarrow {OP}=(2-\sin 2,1-\cos 2)$．
题目
答案
解析
备注
