已知 $a,b\in\mathbb R^{\ast}$，且 $ab=2$，则 $\dfrac{b}{2+a^2}+\dfrac{a}{2+b^2}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt2}{2}$
【解析】
设 $\dfrac{b}{2+a^2}+\dfrac{a}{2+b^2}=M$，由 $ab=2$，则$$M=\dfrac{b}{ab+a^2}+\dfrac{a}{ab+b^2}=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2}{a+b},$$注意到函数 $y=\dfrac{x}{2}-\dfrac1x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，又$$a+b\geqslant2\sqrt{ab}=2\sqrt2,$$因此，有$$M=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2}{a+b}\geqslant\dfrac{\sqrt2}{2},$$当且仅当 $a=b=\sqrt2$ 时，取得等号，故最小值为 $\dfrac{\sqrt2}{2}$．
题目
答案
解析
备注
