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若向量 $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ 满足：$\left| {\overrightarrow a } \right| = 1$，$\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \perp \overrightarrow a$，$\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \perp \overrightarrow b $，则 $\left| {\overrightarrow b } \right| = $  \((\qquad)\)
A: $ 2 $
B: $\sqrt 2 $
C: $ 1 $
D: $\dfrac{\sqrt 2 }{2}$
【难度】
【出处】
2014年高考大纲卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 知识点
    >
    高中视角下的解析几何
    >
    平面向量与平面直角坐标系
  • 题型
    >
    向量
【答案】
B
【解析】
本小题考查了向量的数量积，由题中的垂直，可知向量的数量积为 $0$，进而解得 $\left| {\overrightarrow b } \right| $．由 $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \perp \overrightarrow a$，$\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \perp \overrightarrow b $，并根据平面向量的数量积得\[\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow a=0,\]\[\left(2\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow b=0,\]所以\[\left|\overrightarrow a\right|^2+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0,\cdots\cdots ① \]\[2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\left|\overrightarrow b\right|^2=0,\cdots\cdots ② \]$2\times ① - ② $ 得\[2\left|\overrightarrow a\right|^2-\left|\overrightarrow b\right|^2=0,\]结合 $\left|\overrightarrow a\right|=1$ 得 $\left|\overrightarrow b\right|=\sqrt 2$．
题目 答案 解析 备注
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