实数 $x$、$y$ 满足 ${x}^{2}+{y}^{2}=20$，则 $xy+8x+y$ 的最大值是
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$42$
【解析】
注意 $xy\leqslant\dfrac{1}{4}{x}^{2}+{y}^{2}$，$8x\leqslant{x}^{2}+16$，$y\leqslant\dfrac{1}{4}{y}^{2}+1$，这三者相加即得 $xy+8x+y\leqslant\dfrac{5}{4}({x}^{2}+{y}^{2})+17=42$．当 $x=4$，$y=2$ 时等号成立，所以 $xy+8x+y$ 的最大值是 $42$．也可直接用柯西（Cauchy）不等式 $xy+8x+y\leqslant({x}^{2}+{8}^{2}+{y}^{2})({y}^{2}+{x}^{2}+{1}^{2})=84\times21={42}^{2}$，得到最大值为 $42$．
题目
答案
解析
备注
