凸六边形 $ABCDEF$ 的 $6$ 条边长相等，内角 $A$、$B$、$C$ 分别为 $134^{\circ}$、$106^{\circ}$、$134^{\circ}$，则内角 $E$ 是 （用度数作答）
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$134^{\circ}$
【解析】
不妨设边长为 $1$，设 $AC$、$DF$ 的中点分别为 $M$、$N$，且 $A$ 在 $DF$ 上的射影为 $K$，则 $\angle BAM=37^{\circ}$，$\angle MAF=97^{\circ}$，$\angle AFK=83^{\circ}$．即 $FK=\cos83^{\circ}$，$KN=AM=\cos37^{\circ}$．又设 $\angle EFN=x$，则 $FN=\cos x$．利用 $FN=FK+KN$，我们有 $\cos x=\cos83^{\circ}+\cos37^{\circ}=2\cos60^{\circ}\cos23^{\circ}=\cos23^{\circ}$．因此 $x=23^{\circ}$，即等腰 $\triangle DEF$ 的底角为 $23^{\circ}$，可见其顶角 $E$ 为 $134^{\circ}$．
题目
答案
解析
备注
