设点 $O$ 为三角形 $ABC$ 内一点，且满足关系式：$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$ 则 $\dfrac{S\triangle{AOB}+2S\triangle{BOC}+3S\triangle{COA}}{S\triangle{ABC}}$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河北省预赛（高三）
【标注】
【答案】
$\dfrac{11}{6}$
【解析】
将 $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$ 化为 $3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，$(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB})+2(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{0}$．设 $M$、$N$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，则 $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{ON}$．设 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$，由几何关系知 $S\triangle{BOC}=\dfrac{1}{2}S$，$S\triangle{AOB}=\dfrac{1}{3}S$，$S\triangle{AOC}=\dfrac{1}{6}S$，所以 $\dfrac{S\triangle{AOB}+2S\triangle{BOC}+3S\triangle{COA}}{S\triangle{ABC}}=\dfrac{11}{6}$．
题目
答案
解析
备注
