若正实数 $x,y$ 满足 $x^3+y^3=(4x-5y)y$，则 $y$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【解析】
设 $x=ky$，则 $y=\dfrac{4k-5}{k^3+1}$．令 $f(k)=\dfrac{4k-5}{k^3+1}$，则 $f^{\prime}(k)=\dfrac{(k-2)(8k^2+k+2)}{(k^3+1)^2}$，故 $f(k)\leqslant f(2)=\dfrac{1}{3}$，因此 $y$ 的最大值为 $\dfrac{1}{3}$．
题目
答案
解析
备注
