在数列 ${a_n}$ 中，若 $a_n^2-a_{n-1}^2=p$（$n\geqslant 2,n\in\mathbf N^{\ast}$，$p$ 为常数），则称 $\{a_n\}$ 为"等方差数列"．下列是对"等方差数列"的判断：
① 数列 $\{(-1)^n\}$ 是等差数列
② 若 $\{a_{n}\}$ 是等方差数列，则 $\{a_n^2\}$ 是等差数列
③ 若 $\{a_{n}\}$ 是等方差数列，，则 $\{a_{kn}\}$（$k\in\mathbf N^{\ast}$，$k$ 为常数）也是等方差数列
④ 若 $\{a_{n}\}$ 即是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
其中正确的命题序号为 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）
① 数列 $\{(-1)^n\}$ 是等差数列
② 若 $\{a_{n}\}$ 是等方差数列，则 $\{a_n^2\}$ 是等差数列
③ 若 $\{a_{n}\}$ 是等方差数列，，则 $\{a_{kn}\}$（$k\in\mathbf N^{\ast}$，$k$ 为常数）也是等方差数列
④ 若 $\{a_{n}\}$ 即是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
其中正确的命题序号为
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
①②③④
【解析】
① 因为 $[(-1)^n]^2-[(-1)^{n-1}]^2=0$，所以 $\{(-1)^n\}$ 符合"等方差数列"定义；② 根据定义，显然 $\{a^2_n\}$ 是等差数列；③ $a^2_{kn}-a^2_{k(n-1)}=a^2_{kn}-a^2_{kn-1}+a^2_{kn-1}-a^2_{kn-2}+\cdots+a^2_{kn-k+1}-a^2_{k(n-1)}=kp$ 符合定义；④ 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a^2_{n}-a^2_{n-1}=p,a_{n}-a_{n-1}=d$（$d$ 为常数）．若 $d=0$，显然 $\{a_{n}\}$ 为常数列；若 $d\ne 0$，则两式相除得 $a_{n}+a_{n-1}=\dfrac{p}{d}$，所以 $a_n=\dfrac{d^2+p}{2d}$（常数），即 $\{a_{n}\}$ 为常数列．
题目
答案
解析
备注
