函数 $f(x)=[2\sin x\cdot\cos x]+[\sin x+\cos x]$ 的值域为 （其中[x]表示不超过实数 $x$ 的最大整数）．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$\{-2,-1,1,2\}$
【解析】
因为 $f(x+2\pi)=f(x)$ 且 $f(\dfrac{\pi}{2}-x)=f(x)$，所以 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，且图像关于直线 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 对称，所以只需讨论 $x\in[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}]$ 时，$f(x)$ 的取值即可．易得，当 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $2$；当 $x\in(\dfrac{3\pi}{4},\pi)\bigcup (\pi,\dfrac{5\pi}{4})$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $-2$，所以 $f(x)$ 的值域为 $\{-2,-1,1,2\}$．
题目
答案
解析
备注
