甲，乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；前一场的输者，则下一场先掷．若第一场甲先掷，则甲赢得第 $n$ 场的概率为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}(-\dfrac{1}{3})^{n-1},n\geqslant 1$
【解析】
设甲赢得第 $n$ 场的概率为 $p_n$，在每一场，先掷的人赢得的概率为 $\dfrac{1}{2}+(\dfrac{1}{2})^3+(\dfrac{1}{2})^5+\cdots+(\dfrac{1}{2})^{2n-1}+\cdots=\dfrac{2}{3}$，所以 $p_1=\dfrac{2}{3},p_n=\dfrac{1}{3}p_{n-1}+\dfrac{2}{3}(1-p_{n-1})=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}p_{n-1}$，由此得 $p_n-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{3}(p_{n-1}-\dfrac{1}{2}),p_1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$，因此 $p_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}(-\dfrac{1}{3})^{n-1},n\geqslant 1$．
题目
答案
解析
备注
