设 $A(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$，由题意 $ \triangle ABC $ 的重心为椭圆的右焦点 $ F_2$，整理得 $x_2+x_1=3c,y_2+y_1=-b$．由 $A(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$ 在直线 $6x-5y-28=0$ 上，得到 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{6}{5}$．由 $A(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上，得到 $\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}=1,\dfrac{x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_2^2}{b^2}=1$．两式相减并整理得 $-\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{(y_2+y_1)(y_2-y_1)}{(x_2+x_1)(x_2-x_1)}=\dfrac{-b}{3c}\cdot\dfrac{6}{5}$，整理得 $2a^2=5bc$ ①．因为 $A(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$ 在直线 $6x-5y-28=0$ 上，所以有 $6x_1-5y_1-28=0,6x_2-5y_2-28=0$．将 $x_1+x_2=3c,y_1+y_2=-b$ 代入得 $6\times3c-5(-b)-56=0$，整理得 $18c+5b=56$ ②．联立 ①②，且注意到 $a,b$ 为整数，解得 $c=2,b=4,a^2=20$．故所求的椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{16}=1$．