集合 $A,B$ 满足 $A\bigcup B=\{1,2,3,\cdots,10\},A\bigcap B=\varnothing$，若 $A$ 中的元素个数不是 $A$ 中的元素，$B$ 中的元素个数不是 $B$ 中的元素，则满足条件的所有不同的集合 $A$ 的个数为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$186$
【解析】
设 $A$ 中元素个数为 $k(k=1,2,\cdots,9)$，则 $B$ 中元素个数为 $10-k$，依题意 $k\notin A$，$(m-\dfrac{1}{2})^4<k<(m+\dfrac{1}{2})^4$．$10-k\notin B,10-k\in A$，此时满足题设要求的 $A$ 的个数为 ${\rm C}_{10-2}^{k-1}$．其中，当 $k=5$ 时，不满足题意，故 $k\ne 5$．所以 $A$ 的个数为 ${\rm C}_{8}^{0}+{\rm C}_{8}^{1}+\cdots+{\rm C}_{8}^{8}-{\rm C}_{8}^{4}=2^8-{\rm C}_{8}^{4}=186$．
题目
答案
解析
备注
