$a,b$ 为正整数，满足 $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2018}$，则所有正整数对 $(a,b)$ 的个数为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
由 $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2018}$，知 $1\leqslant a<2018$，且 $ab+2018a-208b=0$，于是 $(2018-a)(2018+b)=2018^2=2^2\cdot 1009^2$，而 $0<2018-a<2018,2018+b>2018$．因 $1009$ 为质数，数 $2^2\cdot 1009^2$ 所有可能的分解式为 $1\times 2018^2,2\times (2\times 1009^2),4\times 1009^2,1009\times (4\times 1009)$．其中每一个分解式对应于 $(a,b)$ 的一个解，故其解的个数为 $4$．
题目
答案
解析
备注
