已知 $a,b,c$ 均为正数，则 $\min\{\dfrac{1}{a},\dfrac{2}{b},\dfrac{4}{c},\sqrt[3]{abc}\}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$\sqrt{2}$
【解析】
记 $M=\min \{\dfrac{1}{a},\dfrac{2}{b},\dfrac{4}{c},\sqrt[3]{abc}\}$，那么 $M\leqslant \dfrac{1}{a},M\leqslant\dfrac{2}{b},M\leqslant\dfrac{4}{c}$，于是 $M^3\leqslant\dfrac{8}{abc}$，得 $\sqrt[3]{abc}\leqslant\dfrac{2}{M}$．① 又 $M\leqslant\sqrt[3]{abc}$．②．由 ①② 可得 $M\leqslant\dfrac{2}{M}$，所以 $M\leqslant\sqrt{2}$，即 $M_\max=\sqrt{2}$，当且仅当 $c=2b=4a=2\sqrt{2}$ 时取得．
题目
答案
解析
备注
