若对任意的 $\theta\in[0,\dfrac{\pi}{2}]$，不等式 $4+2\sin\theta\cos\theta-a\sin\theta-a\cos\theta\leqslant 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
设 $x=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+\dfrac{\pi}{4})$，则 $2\sin\theta\cos\theta=x^2-1$．当 $\theta\in[0,\dfrac{\pi}{2}]$ 时，可得 $1\leqslant x\leqslant \sqrt{2}$．不等式 $4+2\sin\theta\cos\theta-a\sin\theta-a\cos\theta\leqslant 0$，即，$ x^2-ax+3\leqslant 0 $，所以 $ a\geqslant x+\dfrac{3}{x} $．当 $ 1\leqslant x\leqslant 2 $ 时，函数 $ f(x)=x+\dfrac{3}{x} $ 单调递减，可得 $ a\geqslant f(1)=1+3=4 $．故实数 $ a $ 的最小值为 $ 4$．
题目
答案
解析
备注
