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已知函数 $f(x)=x^3+\sin x(x\in\mathbf R)$，函数 $g(x)$ 满足 $g(x)+g(2-x)=0(x\in\mathbf R)$，若函数 $h(x)=f(x-1)-g(x)$ 恰有 $2019$ 个零点，则所有这些零点之和为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的零点
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的奇偶性
【答案】
易知函数 $f(x)=x^3+\sin x$ 为奇函数，从而 $f(x-1)$ 的图像关于 $(1,0)$ 点对称．函数 $g(x)$ 满足 $g(x)+g(2-x)=0$，可知 $g(x)$ 的图像也关于 $(1,0)$ 点对称．由此 $h(x)$ 的图像关于 $(1,0)$ 点对称，从而这 $2019$ 个零点关于 $(1,0)$ 点对称，由于 $h(1)=f(0)-g(1)=0\Rightarrow x=1$ 是 $h(x)$ 的一个零点，其余 $2018$ 个零点首尾结合，两两关于 $(1,0)$ 点对称，和为 $2018$，故所有这些零点之和为 $2019$
【解析】
略
题目 答案 解析 备注
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