已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac{3^{n+1}\cdot a_n}{a_n+3^{n+1}},a_1=3$，则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac{2\cdot3^n}{3^n-1}$
【解析】
由 $a_{n+1}=\dfrac{3^{n+1}\cdot a_n}{a_n+3^{n+1}}$ 可得 $\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{3^{n+1}},a_1=3$，则 $\dfrac{1}{a_2}-\dfrac{1}{a_1}=\dfrac{1}{3^2},\dfrac{1}{a_3}-\dfrac{1}{a_2}=\dfrac{1}{3^3},\cdots,\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n-1}}=\dfrac{1}{3^n}$．以下用累加法得，$\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_1}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\cdots+\dfrac{1}{3^n}$．得到 $\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{3^n}=\dfrac{\dfrac{1}{3}(1-\dfrac{1}{3^n})}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{3^n})$，从而 $a_n=\dfrac{2\cdot3^n}{3^n-1}$．
题目
答案
解析
备注
