解法一
原方程可化为 $f(x)=x^2+(a-3)x+3=0,x\in(1,2)$．
（1）$f(1)f(2)<\Leftrightarrow(a+1)(2a+1)<0\Leftrightarrow a\in(-1,-\dfrac{1}{2})$
（2）$f(1)=0$ 即 $a=-1$ 时，$f(x)=x^2-4x+3=0$ 的两根分别为 $1,3$，不符合题意．
（3）$f(2)=0$ 即 $a=-\dfrac{1}{2}$ 时，$f(x)=x^2-\dfrac{7}{2}x+3=0$ 的两根分别为 $2,\dfrac{3}{2}\in(1,2)$．因此 $a=-\dfrac{1}{2}$，符合题意要求．
（4）$\delta=0$，即 $a=3\pm2\sqrt{3}$ 时，若 $a=3+2\sqrt{3},x_1=x_2=-\sqrt{3}$，不符合要求；若 $a=3-2\sqrt{3},x_1=x_2=\sqrt{3}\in(1,2)$，因此 $a=3-2\sqrt{3}$，符合要求．
解法二
$ax+1=-x^2+3x-2$，因为 $1<x<2$，所以 $a=\dfrac{-x^2+3x-3}{x}=3-(x+\dfrac{3}{x})=f(x)$．$f(x)$ 在 $(1,\sqrt{3})$ 上单调递增，在 $(\sqrt{3},2)$ 上单调递减．又 $f(\sqrt{3})=3-2\sqrt{3},f(1)=-1,f(2)=-\dfrac{1}{2}$，所以 $a$ 的取值范围是 $(-1,-\dfrac{1}{2}]\bigcup\{3-2\sqrt{3}\}$．