如图，已知矩形 $ABCD$ 中，$AB=2AD,E$ 为边 $AB$ 的中点，将 $\triangle ADE$ 沿直线 $DE$ 翻折成 $A_1DE$．若 $M$ 为线段 $A_1C$ 的中点，则在 $\triangle ADE$ 翻折过程中，下列命题正确的是 ．
（写出所有正确的命题编号）① 线段 $BM$ 的长是定值；② 存在某个位置，使 $DE\bot A_1C$；③ 点 $M$ 的运动轨迹是一个圆；④ 存在某个位置，使 $MB\bot$ 平面 $A_1DE$．
（写出所有正确的命题编号）① 线段 $BM$ 的长是定值；② 存在某个位置，使 $DE\bot A_1C$；③ 点 $M$ 的运动轨迹是一个圆；④ 存在某个位置，使 $MB\bot$ 平面 $A_1DE$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
①③
【解析】
取 $CD$ 的中点 $F$，连结 $MF,BF$，则 $MF\parallel DA,BF\parallel DE$，所以平面 $MBF\parallel$ 平面 $A_1DE$，所以 $MB\parallel$ 平面 $A_1DE$．故 ③ 正确，④ 错误．由 $\angle A_1DE=\angle MFB,MF=\dfrac{1}{2}A_1D=$ 定值，$FB=DE=$ 定值，故由余弦定理可得 $MB^2=MF^2+FB^2-2MF\cdot FB\cdot \angle MFB$，所以 $MB$ 是定值，故 ① 正确．若 ② 成立，则由 $DE\bot CE$，可得 $DE\bot$ 面 $A_1EC$，所以 $DE\bot A_1E$，而这与 $DA_1\bot A_1E$ 矛盾，故 ② 错误．
题目
答案
解析
备注
