已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左，右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 的直线交双曲线右支于 $P,Q$ 两点，且 $PQ\bot PF_1$．若 $|PQ|=\dfrac{5}{12}|PF_1|$，则双曲线的离心率为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt{37}}{5}$
【解析】
已知 $P,Q$ 为双曲线右支上的点，由 $PQ\bot PF_1,|PQ|=\dfrac{5}{12}|PF_1|$，在直角三角形 $PF_1Q$ 中，$|QF_1|=\sqrt{|PF_1|^2+|PQ|^2}=\dfrac{13}{12}|PF_1|$，由双曲线的定义可得：$2a=|PF_1|-|PF_2|=|QF_1|-|QF_2|$，由 $|PQ|=\dfrac{5}{12}|PF_1|$，既有 $|PF_2|+|QF_2|=\dfrac{5}{12}|PF_1|$，即为 $|PF_1|-2a+\dfrac{13}{12}|PF_1|-2a=\dfrac{5}{12}|PF_1|$，所以有 $(1-\dfrac{5}{12}+\dfrac{13}{12})|PF_1|=4a$，解得 $|PF_1|=\dfrac{12a}{5},|PF_2|=|PF_1|-2a=\dfrac{2a}{5}$，由勾股定理可得 $2c=|F_1F_2|=\sqrt{(\dfrac{12a}{5})^2+(\dfrac{2a}{5})^2}=\dfrac{2\sqrt{37}}{5}a$，可得 $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{37}}{5}$，故答案为 $\dfrac{\sqrt{37}}{5}$．
题目
答案
解析
备注
