九个连续正整数自小到大排成一个数列 $a_1,a_2,\cdots,a_9$，若 $a_1+a_3+a_5+a_7+a_9$ 是一个平方数，$a_2+a_4+a_6+a_8$ 是一个立方数，则 $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_9$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
$18000$
【解析】
设这九个数分别为 $a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4$，则有 $5a=m^2,4a=n^3,s=9a$，则 $a=\dfrac{m^2}{5}=\dfrac{n^3}{4}$，得到 $4m^2=5n^3$．令 $n=2n_1,m=5m_1$，得 $100m_1^2=40n_1^3$，所以 $5m_1^2=2n_1^3$．再取 $m_1=2m_2,n_1=5n_2$，化为 $2m_2^2=5^2n_2^3$．取 $m_2=10,n_2=2$，可使 ① 式成立．这时 $n=20,m=100,a_1+a_2+\cdots+a_9=9a=18000$．
题目
答案
解析
备注
